Question

已知x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
（1）求x+y最小值．
（2）求xy最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，利用基本不等式的性质可得4≤x+y+

(x+y)2

2

，解出即可；
（2）由于x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，利用基本不等式的性质可得4≥2

xy

+2xy，解出即可．

解答： 解：（1）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
∴4≤x+y+

(x+y)2

2

，化为（x+y）²+2（x+y）-8≥0，
化为（x+y+4）（x+y-2）≥0，
解得x+y≥2，
当且仅当x=y=1时取得最小值2．
（2）∵x+y+2xy=4，x＞0，y＞0，
∴4≥2

xy

+2xy，
化为(

xy

)2+

xy

-2≤0，即(

xy

+2)(

xy

-1)≤0，
∴

xy

≤1，
解得xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号．
∴xy最大值是1．

点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，属于基础题．