Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
（1）求f（-1）的值；
（2）记函数f（x）的值域A，不等式（x-a）（x-a-2）≤0的解集为B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的性质得出f（-1）=f（1）；
（2）利用f（x）的对称性和指数函数的性质求出f（x）的值域A，解出B，根据A⊆B得出A，B端点的大小关系，从而求出a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．
∴f（-1）=f（1）=$\frac{1}{2}$．
（2）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，且（$\frac{1}{2}$）⁰=1，（$\frac{1}{2}$）^x＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上的值域为（0，1]，
∵f（x）是偶函数，
∴f（x）的值域为（0，1]，即A=（0，1]．
解不等式（x-a）（x-a-2）≤0得a≤x≤a+2，即B=[a，a+2]．
∵A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2≥1}\\{a≤0}\end{array}\right.$，解得-1≤a≤0．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，集合运算，属于基础题．