已知正项数列{an}的首项a1=1.前n项和Sn满足an=$\sqrt{S n}+\sqrt{{S {n-1}}}$(1)求证:$\left\{{\sqrt{S n}\left.{\;}\right\}}$为等差数列.并求数列{an}的通项公式．(2)是否存在实数λ.使得数列$\left\{{\frac{S n}{{λ+{a n}}}}\right\}$成等差数列?若存在.求出λ的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足a_n=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）
（1）求证：$\left\{{\sqrt{S_n}\left.{\;}\right\}}$为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）是否存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{S_n}{{λ+{a_n}}}}\right\}$成等差数列？若存在，求出λ的值和该数列前n项的和；若不存在，请说明理由．

分析（1）a_n=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），可得S_n-S_n-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$，根据?n∈N^*，a_n＞0，可得S_n＞0．可得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．即可证明，进而得出S_n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．
（2）假设存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{S_n}{{λ+{a_n}}}}\right\}$成等差数列．可得$\frac{2{S}_{2}}{λ+{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{λ+{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{λ+{a}_{3}}$，代入即可得出．

解答（1）证明：∵a_n=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），∴S_n-S_n-1=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$，∵?n∈N^*，a_n＞0，∴S_n＞0．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1．
∴$\left\{{\sqrt{S_n}\left.{\;}\right\}}$为等差数列，公差为1，首项为1．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，可得S_n=n²．
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
n=1时上式也成立．
∴a_n=2n-1．
（2）解：假设存在实数λ，使得数列$\left\{{\frac{S_n}{{λ+{a_n}}}}\right\}$成等差数列．
则$\frac{2{S}_{2}}{λ+{a}_{2}}$=$\frac{{S}_{1}}{λ+{a}_{1}}$+$\frac{{S}_{3}}{λ+{a}_{3}}$，
∴$\frac{2×{2}^{2}}{λ+3}$=$\frac{1}{λ+1}$+$\frac{{3}^{2}}{λ+5}$，
化为：λ²-2λ+1=0，解得λ=1，
∴存在实数λ=1，使得数列$\left\{{\frac{S_n}{{λ+{a_n}}}}\right\}$成等差数列．
∴$\frac{{S}_{n}}{1+{a}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}}{1+2n-1}$=$\frac{n}{2}$．
数列$\{\frac{n}{2}\}$的前n项和为：$\frac{n（\frac{1}{2}+\frac{n}{2}）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4}$．