Question

10．关于x的方程x³-ax+2=0有三个不同实数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （3，+∞）
• C． （0，3 ）
• D． （-∞，3）

Answer 1

分析 令f（x）=x³-ax+2，判断f（x）的单调性，计算f（x）的极值，得出极值与0的大小关系解出a的范围．

解答 解：令f（x）=x³-ax+2，则f′（x）=3x²-a，
（1）若a≤0，则f′（x）≥0，∴f（x）为增函数，
∴f（x）最多只有1个零点，不符合题意；
（2）若a＞0，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
∴当x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$时，f′（x）＞0，
当-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）上单调递增，在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）上单调递减，在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞）上单调递增，
∴当x=-$\sqrt{\frac{a}{3}}$时，f（x）取得极大值f（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$+2，
当x=$\sqrt{\frac{a}{3}}$时，f（x）取得极小值f（$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=-$\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}$+2，
∵f（x）有三个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}+2＞0}\\{-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}+2＜0}\end{array}\right.$，解得a＞3．
综上，a＞3．
故选B．

点评 本题考查了函数零点与函数单调性、极值的关系，函数单调性的判定，属于中档题．