Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x²+2x．
（1）写出函数f（x）在x∈R的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）-2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（-x）=f（x），且当x≥0时f（x）=x²+2x．可求出x＜0时函数f（x）的解析式，综合可得函数f（x）的解析式
（2）根据（1）可得函数g（x）的解析式，结合二次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，进而可得函数g（x）的最小值的表达式．

解答： 解：（ 1）当x＜0时，-x＞0，
∵函数f（x）是偶函数，故f（-x）=f（x），且当x≥0时，f（x）=x²+2x…（2分）
所以f（x）=f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，…（4分）
所以f（x）=

x2+2x，x≥0 x2-2x，x＜0

，
（2）∵g（x）=f（x）-2ax+2=x²+2（1-a）x+2的图象开口朝上且以直线x=a-1为对称，
又∵x∈[1，2]，
当a-1≤1时，g（x）在[1，2]上为增函数，故当x=1时，g（x）取最小值5-2a，
当1＜a-1≤2时，g（x）在[1，a-1]上为减函数，在[a-1，2]上为增函数，故当x=a-1时，g（x）取最小值-a²+2a+1，
当a-1＞2时，g（x）在[1，2]上为减函数，故当x=2时，g（x）取最小值10-4a，
综上：函数g（x）的最小值为

5-2a，a≤2 -a2+2a+2，2＜a≤3 10-4a，a＞3

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数解析式的求法，二次函数在定区间上的最值问题，是二次函数图象与性质与奇偶性的综合考查，难度不大，属于基础题．