Question

12．双十一期间某电商准备矩形促销市场调查，该电商决定活动，市场调查，该电商决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至多有一种是家电商品的概率；
（2）电商对选出的某商品采用促销方案是有奖销售，顾客购买该商品，一共有3次抽奖的机会，若中奖，则每次都活动数额为40元的奖券，假设顾客每次抽奖时中奖的概率都是$\frac{1}{2}$，且每次中奖互不影响，设一位顾客中奖金额为随机变量ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设“选出的3种商品中至多有一种是家电商品”为事件A，可得P（A）=$\frac{{∁}_{5}^{3}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{7}^{3}}$．
（2）ξ的可能取值为0，40，80，120．利用二项分布列计算公式即可得出．

解答 解：（1）设“选出的3种商品中至多有一种是家电商品”为事件A，则P（A）=$\frac{{∁}_{5}^{3}+{∁}_{2}^{1}•{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{7}^{3}}$=$\frac{6}{7}$．
（2）ξ的可能取值为0，40，80，120．则P（ξ=0）=${∁}_{3}^{0}（\frac{1}{2}）^{0}×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$，P（ξ=40）=${∁}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）^{1}×（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，P（ξ=80）=${∁}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，P（ξ=120）=${∁}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{8}$．∴ξ的分布列为：

ξ	0	40	80	120
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴Eξ=0+$40×\frac{3}{8}+80×\frac{3}{8}$+120×$\frac{1}{8}$=60．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．