Question

20．数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{（n+1）（n+2）}\begin{array}{l}{\;}{（n∈N*）}\end{array}$，则通项公式为${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 把给出的数列递推式变形裂项，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答 解：由${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{（n+1）（n+2）}\begin{array}{l}{\;}{（n∈N*）}\end{array}$，得
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${a}_{2}-{a}_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
${a}_{3}-{a}_{2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
${a}_{4}-{a}_{3}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，
…
${a}_{n}-{a}_{n-1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
累加得：${a}_{n}-{a}_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}=\frac{n-1}{2（n+1）}$．
又${a_1}=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{n-1}{2（n+1）}+\frac{1}{2}=\frac{n-1+n+1}{2（n+1）}=\frac{n}{n+1}$．
故答案为：${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，属中档题．