Question

12．“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.2．为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费 C（单位：万元）与安装的这种净水设备的占地面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=$\frac{k}{50x+250}$（x≥0，k为常数）．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．
（Ⅰ） 试解释C（0）的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；
（Ⅱ） 当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）C（0）的实际意义是不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，依题意，C（0）=$\frac{k}{250}$=4，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；
（Ⅱ）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．

解答 解：（Ⅰ） C（0）表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元                      （2分）
∵C（0）=$\frac{k}{250}$=4，∴k=1000；                      （3分）
∴y=0.2x+$\frac{1000}{50x+250}$×4=0.2x+$\frac{80}{x+5}$，x≥0﹒（6分）
（Ⅱ） y=0.2（x+5+$\frac{400}{x+5}$）-1≥0.2×40-1=7
当x+5=$\frac{400}{x+5}$，即x=15时，y_min=7
∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元               （12分）

点评 本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于中档题．