题目内容
10．若对于任意实数x∈[e，e2]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，则实数的取值范围是 （ ）| A． | （-∞，-2） | B． | （-∞，2） | C． | （$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | （2，+∞） |
分析 构造函数，确定单调性，求出最大值，即可求得m的取值范围．
解答 解：设y=x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$，则y′=1+$\frac{{e}^{2}}{x（lnx）^{2}}$＞0，
函数在x∈[e，e2]上单调递增，∴ymax=$\frac{1}{2}$e2，
∵对于任意实数x∈[e，e2]，不等式$\frac{{e}^{m}}{2}$＞x-$\frac{{e}^{2}}{lnx}$恒成立，
∴$\frac{{e}^{m}}{2}$＞$\frac{1}{2}$e2，
∴m＞2，
故选：D．
点评 本题考查求实数的取值范围，考查导数知识的运用，正确构造函数是关键．
练习册系列答案
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5．函数g（x）=log2x（x＞$\frac{1}{2}$）关于x的方程|g（x）|2+m|g（x）|+2m+3=0恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围为（ ）
| A． | （-∞，4-2$\sqrt{7}$）∪（4+2$\sqrt{7}$，+∞） | B． | （4-2$\sqrt{7}$，4+2$\sqrt{7}$） | C． | （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$） | D． | （-$\frac{3}{2}$，-$\frac{4}{3}$] |