Question

已知函数f（x）=

1

12

x³-

1

4

x²+cx+d（c，d∈R），满足f（0）=0，f′（1）=0
（1）求c，d的值；
（2）若h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，解不等式f′（x）+h（x）＜0；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f′（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（0）=0，f′（1）=0列出两个方程，解出c、d的值；
（2）由（1）得f′（x），代入不等式化简后，根据一元二次不等式解法，利用对应方程的两个根的大小关系进行分类讨论，分别求出不等式的解集；
（3）由（1）得f′（x）代入g（x）=f′（x）-mx化简，利用二次函数的对称轴和区间，对m进行分类讨论，分别有二次函数的最值列出方程求出m的值．

解答： 解：（1）∵f（0）=0，∴d=0，
∵f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+c，f′（1）=0，
∴

1

4

-

1

2

+c=0，解得c=

1

4

；
（2）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∵h（x）=

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

，
∴f′（x）+h（x）＜0为：

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

+

3

4

x²-bx+

b

2

-

1

4

＜0，
化简得x2-(b+

1

2

)x+

b

2

＜0，即(x-b)(x-

1

2

)＜0，
当b=

1

2

时，解集是∅，
当b＞

1

2

时，解集是（

1

2

，b），
当b＜

1

2

时，解集是（b，

1

2

）；
（3）由（1）得，f′（x）=

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

，
该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1．
假设存在实数m使函数g（x）=

1

4

x²-（

1

2

+m）x+

1

4

在区间[m，m+2]上有最小值-5，
①当m＜-1时，2m+1＜m，函数g（x）在区间[m，m+2]上是递增的．
∴g（m）=-5，即

1

4

m2-(

1

2

+m)m+

1

4

=-5，
解得m=-3或m=

7

3

＞-1，则m=-3，
②当-1≤m＜1时，m≤2m+1＜m+2时，
∵函数g（x）在区间[m，2m+1]上是递减的，在区间[2m+1，m+2]上是递增的，
∴g（2m+1）=-5，即

1

4

(2m+1)2-(

1

2

+m)(2m+1)+

1

4

=-5，
解得m=-

1

2

-

1

2

21

或m=-

1

2

+

1

2

21

（都舍去）；
③当m≥1时，2m+1≥m+2，函数g（x）在区间[m，m+2]上递减，
∴g（m+2）=-5，即

1

4

(m+2)2-(

1

2

+m)(m+2)+

1

4

=-5，
解得m=-1+2

2

或m=-1-2

2

＜0，则m=-1+2

2

，
综上可得，当m=-3或m=-1+2

2

时，函数g（x）=f′（x）-mx在区间[m，m+2]上有最小值-5．

点评：本题考查导数的综合运用，具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数解析式、二次函数最值问题，分类讨论思想，对学生有一定的能力要求，属于难题．