某公司要在一条笔直的道路边安装路灯.要求灯柱AB与地面垂直.灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂.路灯C采用锥形灯罩.射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC=$\frac{2}{3}$π.∠ACD=$\frac{π}{3}$.路宽AD=24米．设∠BAC=θ$(\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6})$(1)求灯柱AB的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知∠ABC=$\frac{2}{3}$π，∠ACD=$\frac{π}{3}$，路宽AD=24米．设∠BAC=θ$（\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}）$
（1）求灯柱AB的高h（用θ表示）；
（2）此公司应该如何设置θ的值才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01米）

分析（1）在△ACD中与在△ABC中，分别利用正弦定理即可得出；
（2）△ABC中，利用正弦定理可得：BC，再利用和差公式即可得出．

解答解：（1）在△ACD中，$∠CDA=θ+\frac{π}{6}$，
由$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠CDA}$，得$AC=\frac{AD•sin∠CDA}{sin∠ACD}=16\sqrt{3}sin（θ+\frac{π}{6}）$，
在△ABC中，$∠ACB=\frac{π}{3}-θ$，
由$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，得$h=\frac{AC•sin∠ACB}{sin∠ABC}=32sin（θ+\frac{π}{6}）sin（\frac{π}{3}-θ）$$（\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}）$．
（2）△ABC中，
由$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，得$BC=\frac{AC•sin∠BAC}{sin∠ABC}=32sin（θ+\frac{π}{6}）sinθ$，
∴$AB+BC=32sin（θ+\frac{π}{6}）sin（\frac{π}{3}-θ）+32sin（θ+\frac{π}{6}）sinθ$=$16sin2θ+8\sqrt{3}$，
∵$\frac{π}{12}≤θ≤\frac{π}{6}$，∴$\frac{π}{6}≤2θ≤\frac{π}{3}$，
∴当$θ=\frac{π}{12}$时，AB+BC取得最小值$8+8\sqrt{3}≈21.86$．
故制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米．

点评本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．