Question

已知函数f（x）=3^x+

1

3x

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）求函数f（x）=3^x+

1

3x

的定义域为R，判断f（-x）=3^-x+

1

3-x

=

1

3x

+3^x=f（x）即可；
（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答： 解：（1）函数f（x）=3^x+

1

3x

的定义域为R，
且f（-x）=3^-x+

1

3-x

=

1

3x

+3^x=f（x），
则函数f（x）为偶函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-（3x2+

1

3x2

）
=（3x1-3x2）（1-

1

3x13x2

）
∵0＜x₁＜x₂，
∴1＜3x1＜3x2，
∴3x1-3x2＜0，1-

1

3x13x2

＞0；
则f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的证明，奇偶性注意先求定义域，单调性证明一般有两种方法，定义法，导数法．属于基础题．