Question

在直角坐标系xOy中，直线l的方程为：

x=1-t y=3+t

（t为参数），曲线C的参数方程为

x= 3 cosα y=sinα

（α为参数）．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，

π

2

），判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的最小值以及取到最小值时所对应的点Q的坐标．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（1）求出点P的直角坐标，代入方程，即可判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q的坐标为(

3

cosα，sinα)，求出点Q到直线l的距离，即可得出结论．

解答： 解：（1）把极坐标系下的点P（4，

π

2

），化为直角坐标，得P（0，4）．
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x+y=4，所以点P在直线l上．
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(

3

cosα，sinα)，
从而点Q到直线l的距离为：d=

| 3 cosα+sinα-4|

12+12

=

|4-2sin(α+ π 3 )|

2

≥

2

所以d 的最小值为

2

．此时sin(α+

π

3

)=1，从而可以取α=

π

6

．
于是有：

x= 3 cosα= 3 2 y=sinα= 1 2

．所以点Q的坐标为：Q(

3

2

，

1

2

)．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．