Question

已知函数f（x）=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，将解析式化为y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式，根据正弦函数的性质，求出最小正周期和单调减区间；
（2）由x的范围求出“2x-

π

6

”的范围，根据正弦函数的单调性判断出函数的单调性，再求出端点处的函数值，进行比较后得函数的最值，即求出函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos²（x-

π

6

）+2sin（x-

π

4

）sin（x+

π

4

）-1
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

2

-

π

4

)
=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)cos(x-

π

4

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin(2x-

π

2

)
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)
∴周期 T=π---------------------（6分）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ(k∈Z)得，

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ(k∈Z)
∴函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ](k∈Z)-------------（8分）
（2）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，-----------（9分）
∵函数f（x）=sin(2x-

π

6

)在区间[-

π

12

，

π

3

] 上单调递增，在区间[

π

3

，

π

2

]上单调递减，
∴当x=

π

3

时，f（x）取最大值f(

π

3

)=sin(

2π

3

-

π

6

)=sin

π

2

=1．
又∵f(-

π

12

)=sin(-

π

3

)=-

3

2

，且f(

π

2

)=sin(π-

π

6

)=sin

π

6

=

1

2

，
∴当x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

3

2

．
∴函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的值域为[-

3

2

，1]------------------------（12分）

点评：本题考查了诱导公式、二倍角的正弦与余弦、辅助角公式的应用，正弦函数的周期性、利用正弦函数的单调性求给定区间上的值域问题，属于中档题．