Question

已知直线l：mx+ny=1与曲线C：

x= 1 2 cosβ y= 1 2 sinβ

(β为参数)无公共点，求过点（m，n）的直线与曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共点的个数？

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：将曲线C的参数方程化为普通方程，根据条件和点到直线的距离公式，列出m、n满足的关系式，把曲线的极坐标方程化为直角坐标系中的普通方程，判断出点（m，n）与圆、椭圆的位置关系，判断出直线与曲线的交点个数．

解答： 解：因为曲线C：

x= 1 2 cosβ y= 1 2 sinβ

(β为参数)，所以曲线C普通方程为x²+y²=

1

4

，
即C是以（0，0）为圆心、

1

2

为半径的圆，
因为直线l：mx+ny=1与曲线C无公共点，
所以

1

m2+n2

＞

1

2

，化简得：m²+n²＜4，
由曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

得：4（ρcosθ）²+9（ρsinθ）²=36，
所以直角坐标系中的方程为

x2

9

+

y2

4

=1，
因为点（m，n）满足m²+n²＜4，
所以点（m，n）在以（0，0）为圆心、2为半径的圆内，
因为

x2

9

+

y2

4

=1是a=3、b=2，且焦点在x轴上的椭圆，
所以以（0，0）为圆心、2为半径的圆一定在椭圆内，
即点（m，n）在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1内部，
所以过点（m，n）的直线与曲线ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共点的个数是2．

点评：本题考查圆的参数方程、极坐标方程化为直角坐标系中的普通方程，以及点、直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．