Question

已知?x∈R，e^x≥ax+b恒成立．
（1）当b=1时，求a的范围．
（2）求a•b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：（1）令f（x）=e^x-ax-1，求出函数的导数，再分别讨论a≤0，a＞0的情况，求出a的取值范围即可；
（2）令f（x）=e^x，设f（x）上一点坐标为P(x0，ex0)，f'（x）=e^x，所以k=ex0，所以切线方程为：y-ex0=ex0(x-x0)，整理得：y=ex0x+(1-x0)ex0，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可．

解答： 解：（1）令f（x）=e^x-ax-1，f'（x）=e^x-a=0，
①a≤0时，f'（x）≥0无最大，最小，
②a＞0时，f'（x）=0，x=lna（极小值点），
所以 f（x）_min=f（lna）=a-alna-1≥0，
令g（x）=f（lna）=a-alna-1g'（x）=1-lna-1=-lna=0，
解得a=1，
所以g（x）_min=g（1）=0，
所以f（x）_min≥0的解为a=1；
（2）令f（x）=e^x，设f（x）上一点坐标为P(x0，ex0)，f'（x）=e^x，
所以k=ex0，
所以切线方程为：y-ex0=ex0(x-x0)，
整理得：y=ex0x+(1-x0)ex0，
所以a=ex0，b=(1-x0)ex0，
令f（x）=ab=（1-x）e^2x，f'（x）=-e^2x+2（1-x）e^2x=（1-2x）e^2x，
令f'（x）=0，解得：极大值点：x=

1

2

，
所以f(x)max=f(

1

2

)=

e

2

．

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题．