Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是线段AB，BC的中点，
（Ⅰ）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．
（Ⅱ）若PD与平面ABCD所成角的余弦值是

2 5

5

，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：

分析：（Ⅰ）过点E作EH∥FD交AD于点H，再过点H作HG∥DP交PA于点G，由已知条件推导出满足AG=

1

4

AP的点G为所求．
（II）建立空间直角坐标系，由已知条件推导出∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．利用向量法能求出二面角A-PD-F的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）过点E作EH∥FD交AD于点H，
则EH∥平面PFD且AH=

1

4

AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，
则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=

1

4

AP的点G为所求．（6分）
（II）建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．
又∵PD与平面ABCD所成角的余弦值是

2 5

5

，
即cos∠PDA=

AD

PD

=

2

PD

=

2 5

5

，解得PD=

5

，
∴PA=

5-4

=1，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
设平面PFD的法向量为

n

=(x，y，z)，
∵

PF

=(1，1，-1)，

DF

=（1，-1，0），
∴

n • PF =x+y-z=0 n • DF =x-y=0

，
令z=1，得

n

=（

1

2

，

1

2

，1）．
又∵AB⊥平面PAD，∴

AB

=（1，0，0）是平面PAD的法向量，
∴cos＜

AB

，

n

＞=

1 2

1 4 + 1 4 +1

=

6

6

．
由图知，所求二面角A-PD-F的余弦值为

6

6

．（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．