Question

9．已知x，y，z为正实数，则$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 根据基本不等式可得x²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$xy，z²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$yz，问题得以解决．

解答 解：x²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$xy，z²+$\frac{1}{2}$y²≥$\sqrt{2}$yz，
∴x²+y²+z²≥$\sqrt{2}$xy+$\sqrt{2}$yz=$\sqrt{2}$（xy+yz），
∴$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，当且仅当x=z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$y时取等号，
故$\frac{xy+yz}{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题