题目内容

14．如图，在△A BC中，三内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，$a=\sqrt{3}$，S为△A BC的面积，圆 O是△A BC的外接圆，P是圆 O上一动点，
（1）求$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$取得最大值；
（2）当B=30°时，求$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值．

分析 （1）根据余弦定理和和正弦定理以及两角差的余弦公式和三角函数的性质即可求出，
（2）方法一：利用向量的数量积以及三角函数的性质即可求出，
方法二，建立坐标系，利用向量的坐标运算即可求出

解答 解：（1）由a2=b2+c2+bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，
∴A=120°
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$⇒b=2sinB，c=2sinC
∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\frac{1}{2}bcsinA+$$\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{3}sinBsinC+\sqrt{3}cos{B}cosC$=$\sqrt{6}$cos（B-C）≤$\sqrt{6}$，
当且仅当B=C时取等号，
∴$S+\sqrt{3}cos{B}cosC$最大值为$\sqrt{6}$；
（2）方法一：当B=30°时，△A BC为等腰三角形，
$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$═$（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}）•（\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}）={\overrightarrow{PO}^2}+\overrightarrow{PO}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）+\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1+2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{OD}$+$\frac{1}{2}$（其中D为AB的中点）
=$\frac{3}{2}+2|{\overrightarrow{PO}}||{\overrightarrow{OD}}|cos＜\overrightarrow{PO}，\overrightarrow{OD}＞$≤$\frac{3}{2}+2×1×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×1=\frac{3}{2}+\sqrt{3}$
法二：以O为原点，OA为半轴，建立平面直角坐标系，则$A（0，1），B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，
设P（cosθ，sinθ），则$\overrightarrow{PA}$=（-cosθ，1-sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosθ，$\frac{1}{2}$-sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=cos2θ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+sin2θ-$\frac{3}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ）+$\frac{3}{2}$=$\sqrt{3}$cos（θ+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$≤$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$
当且仅当θ=$\frac{π}{6}$时取等号，
∴$\overrightarrow{{P}{A}}•\overrightarrow{{P}{B}}$的最大值为$\sqrt{3}$+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是正弦定理，余弦定理，向量的数量积运算，是三角函数与平面向量的综合应用，难度中档．

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