题目内容
【题目】已知
，
，
，…，
等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为
.
（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有
所通过的概率为
，当
为何值时，取得最大值；
（2）若
，该同学参加每所高校考试所需的费用均为
元，该同学决定按，，，…，顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，否则，继续参加其它高校的考试，求该同学参加考试所需费用
的分布列及数学期望.
【答案】（1）当
时，
取得最大值；（2）见解析
【解析】
（1）根据题干得到同学恰好通过
所高校自主招生考试的概率为
，将这个表达式看做m的函数式，对函数求导，可得到单调性进而得到最值；（2）根据题干知学生需要的费用有可能为a,到10a,这些情况，再分别求出对应的概率值，可得到分布列和期望值.
（1）因为该冋学通过各校考试的概率均为
，所以该同学恰好通过所高校自主招生考试的概率为
当
时，
，递增；
当
时，
，递减；
所以当时，取得最大值.
（2）设该同学共参加了
次考试的概率为
.
∵
，
∴所以该同学参加考试所需费用
的分布列如下：
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所以
，
令
，①
则
，②
由①-②得
，
所以
，
所以
（元）.
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