Question

8．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m的极坐标方程为ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0）
（1）求曲线C的普通方程与直线m的直角坐标方程；
（2）当a=1时，求曲线C上的点到直线m的最大距离．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用平方关系可得普通方程．直线m的极坐标方程为ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化为：2ρcosθ-ρsinθ=a，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）a=1时，直线m的方程为：2x-y-1=0．设曲线C上的任意一点P（2cosθ，sinθ），则点P到直线m的距离d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
直线m的极坐标方程为ρ=$\frac{a}{2cosθ-sinθ}$（a≠0），化为：2ρcosθ-ρsinθ=a，
可得直角坐标方程：2x-y-a=0．
（2）a=1时，直线m的方程为：2x-y-1=0．
设曲线C上的任意一点P（2cosθ，sinθ），
则点P到直线m的距离d=$\frac{|2cosθ-sinθ-1|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ-φ）+1|}{\sqrt{5}}$
≤$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}}$=1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．当且仅当sin（θ-φ）=-1时取等号．
∴曲线C上的点到直线m的最大距离是1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数和差公式、睡觉时的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．