Question

1．如图，在四棱锥P-ACD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，PA=$\sqrt{2}$，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，推导出点D在以AB为直径的圆上，BD⊥AD，由此能证明BD⊥平面PAD．
（2）利用等体积，求点A到平面PBD的距离．

解答 （1）证明：在梯形ABCD中，取AB中点E，连结DE，
则DE∥BC，且DE=BC
故DE=$\frac{1}{2}$AB，即点D在以AB为直径的圆上，
∴BD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA，
∵AD∩PA=A，
∴BD⊥平面PAD．
（2）解：由条件可得∠DAB=60°，S_△ADB=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
△PBD中，BD=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，PD=$\sqrt{3}$，PB=$\sqrt{6}$，S_△PBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
设点A到平面PBD的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h$，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴点A到平面PBD的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系、线面垂直的判定，考查点到平面距离的计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．