Question

2．已知函数f（x）=log₃$\frac{x}{4-x}$．
（1）求证f（x）在区间（0，4）上是单调递增函数；
（2）求f（x）在[2，3）上的值域；
（3）若关于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）先判断内外函数的单调性，进而根据复合函数“同增异减”的原则，可得f（x）在区间（0，4）上是单调递增函数；
（2）由（1）得f（x）在[2，3）上为增函数，求出f（2），f（3）的值，可得f（x）在[2，3）上的值域；
（3）若关于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，则log₂t∈[0，1），进而可得实数t的范围．

解答 证明：（1）令t=$\frac{x}{4-x}$，则t′=$\frac{4}{（4-{x）}^{2}}$＞0在区间（0，4）上恒成立，
故t=$\frac{x}{4-x}$在区间（0，4）上为增函数，
故f（x）=log₃$\frac{x}{4-x}$在区间（0，4）上为增函数；
解：（2）由（1）得f（x）在[2，3）上为增函数，
又由f（2）=log₃1=0，f（3）=log₃3=1，
故f（x）在[2，3）上的值域为[0，1）；
（3）若关于x的方程f（x）=log₂t在x∈[2，3）上有解，
则log₂t∈[0，1），
解得：t∈[1，2）．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的值域，对数方程的解法，难度中档．