Question

【题目】以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数）），过点、倾斜角为的直线的参数方程满足，（为参数）．

（1）求曲线C的普通方程和直线的参数方程；

（2）若直线与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且，求和的值．

Answer 1

【答案】（1） 为参数）； （2）.

【解析】

（1）根据，，化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线的普通方程，代入解得，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入曲线C方程，根据参数几何意义得，解得，再根据，利用韦达定理解得结果.

（1）由得，

又，，得，∴C的普通方程为，

∵过点、倾斜角为的直线的普通方程为，

由得

∴直线的参数方程为 （t为参数）；

（2）将代入，得，

依题意知

则上方程的根、就是交点A、B对应的参数，∵，

由参数t的几何意义知，得，

∵点P在A、B之间，∴，

∴，即，解得（满足），∴，

∵，又，

∴．