Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面ABC，是边长为2的正三角形，，E，F分别为BC，的中点．

1求证：平面平面；

2求三棱锥的体积；

3在线段上是否存在一点M，使直线MF与平面没有公共点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

1推导出，，由，得，从而平面，由此能证明平面平面C.

2由，能求出三棱锥的体积．

3取中点M，连结MF，推导出，由此能求出线段上是否存在中点M，使直线MF与平面没有公共点，此时．

证明：1在三棱柱中，

因为为等边三角形，E为BC中点，

所以

又平面ABC，平面ABC，所以．

因为，所以

因为，平面，平面，

所以平面C.

所以平面平面C.

2，

取的中点D，连结DE，则，，

所以平面，

又F是的中点，所以，

所以

，

即三棱锥的体积为

3在线段上存在一点M，满足题意．

理由如下：

取中点M，连结

因为F是的中点，所以MF是的中位线，

所以E.

因为平面，平面，

所以平面，

即直线MF与平面没有公共点

此时