题目内容
已知数列{cn}满足cn=(1+
)n(n∈N*)，试证明：
（1）当n≥2时，有cn＞2；
（2）cn＜3．
| 1 |
| n |
（1）当n≥2时，有cn＞2；
（2）cn＜3．
考点：数列与不等式的综合
专题：综合题,二项式定理
分析：（1）根据cn=（1+
）n=Cn0+Cn1•
+Cn2•（
）2+…+Cnn•（
）n，只用前两项即可证明不等式即可；
（2）通过组合数的性质对cn=（1+
）n=Cn0+Cn1•
+Cn2•（
）2+…+Cnn•（
）n进行放缩即可证明．
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
（2）通过组合数的性质对cn=（1+
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
解答：
证明：（1）∵cn=（1+
）n=Cn0+Cn1•
+Cn2•（
）2+…+Cnn•（
）n＞Cn0+Cn1•
=2；
（2）∵cn=（1+
）n=Cn0+Cn1•
+Cn2•（
）2+…+Cnn•（
）n
=2+
•
+…+
••（
）n
＜2+
+…+
＜2+
+…+
=2+（1-
）+…+（
-
）
=3-
＜3．
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
（2）∵cn=（1+
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
=2+
| n(n-1) |
| 2! |
| 1 |
| n2 |
| n(n-1)…•2•1 |
| n! |
| 1 |
| n |
＜2+
| 1 |
| 2! |
| 1 |
| n! |
＜2+
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| (n-1)n |
=2+（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
=3-
| 1 |
| n |
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中等难度题型，
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