Question

求证：cos³θ+cos³（

2π

3

+θ）+cos³（

2π

3

-θ）=

3

4

cos3θ．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和差的余弦公式可得：cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)=-cosθ．cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)=

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ．左边利用立方和公式展开、同角三角函数基本关系式、3倍角公式即可得出．

解答： 证明：cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)=2cos

2π

3

cosθ=-cosθ．
cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)=(-

1

2

cosθ)2-(

3

2

sinθ)2=

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ．
∴左边=cos³θ+[cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ)][(cos(

2π

3

+θ)+cos(

2π

3

-θ))2-3cos(

2π

3

+θ)cos(

2π

3

-θ)]
=cos³θ-cosθ[cos2θ-3(

1

4

cos2θ-

3

4

sin2θ)]
=cos³θ-cosθ(

1

4

+2sin2θ)
=cos³θ-

1

4

cosθ-2cosθ（1-cos²θ）
=3cos3θ-

9

4

cosθ
=

3

4

(4cos2θ-3cosθ)
=

3

4

cos3θ=右边．
∴左边=右边．

点评：本题考查了两角和差的余弦公式、立方和公式、同角三角函数基本关系式、3倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．