Question

6．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）取最大值时x值的集合；
（3）函数y=f（x）-m在[0，$\frac{π}{2}$]上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，求出f（x）的增区间；
（2）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）取得最大值时x的集合；
（3）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数y=f（x）的值域，即可得出函数y=f（x）-m有零点时m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z；
解得-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z；
∴函数f（x）的增区间为[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈z；
（2）令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，
解得x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z，
此时f（x）=1；
∴f（x）取得最大值时x的集合是{x|x=$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈z}；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]；
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴函数y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上值域是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
若函数y=f（x）-m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有零点，
则m的取值范围是-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤m≤1．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数零点的应用问题，是基础题目．