Question

9．已知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x=1时，f（x）=1；当x＞1时，f（x）=$\frac{1}{x-1}$．若方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3个不同的实根x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃=3．

Answer 1

分析 作出f（x）的图象，根据函数图象的特点得到函数关于直线x=1对称．从而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：作出函数的图象如图：
设t=f（x），
则当t=1时，方程f（x）=t有3个根，
当t＞0且t≠1时，方程f（x）=t有2个根，
当t≤0时，方程f（x）=t有0个根，
对于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一个关于f（x）的一元二次方程，
若方程f²（x）+bf（x）+c=0，有3个不等的实数根x₁，x₂，x₃，
则此一元二次方程仅有一根，即t=1，f（x）=1，
此时x₁，x₂，x₃三个数中有一个是1，另两个关于x=1对称，此时有 x₁+x₂+x₃=3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的综合应用能力