设集合M是实数集R的一个子集.如果点x0∈R.满足:对任意?＞0.都存在x∈M.使得0＜|x-x0|＜?.称x0为集合M的一个“聚点 .若有集合:①有理数,②{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N*},③{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N*},④{$\frac{n}{n+1}$|n∈N*}．其中以0为“聚点的集合是①③．(写出所有符合题意的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．设集合M是实数集R的一个子集，如果点x₀∈R，满足：对任意?＞0，都存在x∈M，使得0＜|x-x₀|＜?，称x₀为集合M的一个“聚点”，若有集合：①有理数；②{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；③{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}；④{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}．
其中以0为“聚点”的集合是①③．（写出所有符合题意的结论序号）

分析 ①定义[x]为不大于x的最大整数，从而可得0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，从而确定0为有理数集的“聚点”；
②由cos$\frac{π}{2}$＜cos$\frac{π}{3}$＜cos$\frac{π}{4}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$可得0不是集合{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”，
③由sinx＜x，x∈（0，1）知对任意?＞0，0＜|sin?|＜?，从而确定；
④由$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$知0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”．

解答解：①定义[x]为不大于x的最大整数，
则对任意?＞0，$\frac{1}{?}$＜$[\frac{1}{?}]$+2，
则?＞$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$，
取有理数x=$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$即可得，
0＜|$\frac{1}{[\frac{1}{?}]+2}$-0|＜?，
故0为有理数集的“聚点”；
②{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}中的元素，
cos$\frac{π}{2}$＜cos$\frac{π}{3}$＜cos$\frac{π}{4}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$，
即0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cos$\frac{π}{5}$＜…＜cos$\frac{π}{n+1}$，
故0不是集合{cos$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”，
③∵sinx＜x，x∈（0，1），
∴对任意?＞0，0＜|sin?|＜?，
∴0为集合{sin$\frac{π}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”；
④∵$\frac{1}{2}$＜$\frac{2}{3}$＜$\frac{3}{4}$＜…＜$\frac{n}{n+1}$，
∴0不是集合{$\frac{n}{n+1}$|n∈N^*}的“聚点”，
故答案为：①③．