Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（f（x））=a存在2个实数根，则a的取值范围为（　　）

• A． [-24，0）
• B． （-∞，-24）∪[0，2）
• C． （-24，3）
• D． （-∞，-24]∪[0，2]

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的图象，数形结合分类讨论，可得不同情况下方程f（f（x））=a根的个数，综合可得答案．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{3}，x＞1}\\{x+2，x≤1}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

令t=f（x），则t∈（-∞，3]，
当a＞3时，方程f（f（x））=f（t）=a无实根，方程f（f（x））=a存在0个实数根，
当2≤a≤3时，f（t）=a有1实根，t∈[0，1]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在1个实数根，
当0≤a＜2时，f（t）=a有1实根，t∈[-2，0），f（x）=t此时有2实根，故方程f（f（x））=a存在2个实数根，
当-24≤a＜0时，f（t）=a有2实根，t₁∈[-26，-2），f（x）=t此时有2实根，t₂∈（1，3]，f（x）=t此时有1实根，故方程f（f（x））=a存在3个实数根，
当a＜-24时，f（t）=a有2实根，t₁∈（-∞，-26），f（x）=t此时有2实根，t₂∈（3，+∞），f（x）=t此时无实根，故方程f（f（x））=a存在2个实数根，
综上所述：a∈（-∞，-24）∪[0，2），
故选：B

点评 本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，数形结合思想，分类讨论思想，难度中档．