Question

已知在等差数列{a_n}中，a₂、a₃、a₅分别是等比数列{c_n}的第4项、第3项、第2项，且a₂=8，公差d≠0．
（1）求等比数列{c_n}的通项；
（2）设b_n=log₂c_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的性质

专题：计算题,综合题

分析：（1）利用等差数列{a_n}中，a₂、a₃、a₅分别是等比数列{c_n}的第4项、第3项、第2项，且a₂=8，列出关系式，求出公差，求出等比数列{c_n}的公比，然后求出它的通项；
（2）利用（1），求出b_n=log₂c_n，得到数列{|b_n|}的通项公式，然后求解数列{|b_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由题意知a2•a5=

a

2 3

，即8×（8+3d）=（8+d）²，（2分）
解得d=8或d=0（舍去，∵d≠0），∴a₃=16，a₅=32．
则c₂=32，c₃=16，c₄=8，（4分）
∵|c_n|是等比数列，
∴公比q=

c3

c2

=

16

32

=

1

2

，cn=64×(

1

2

)n-1．（6分）
（2）∵bn=log2cn=log2[64×(

1

2

)n-1]=log227-n=7-n，（7分）
∴|bn| =

7-n   n≤7 n-7   n＞7

，（9分）
则当n≤7时，|b1|=6，Tn=

(6+7-n)n

2

=

n(13-n)

2

；
当n＞7时，|b8|=1，Tn=T7+

(1+n-7)(n-7)

2

=21+

(n-6)(n-7)

2

．（11分）
故Tn=

n(13-n) 2 (n≤7) (n-6)(n-7) 2 +21(n＞7)

（12分）

点评：本题考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．