Question

11．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设a，b∈R，a＞b＞c（其中e是自然对数的底数），用分析法求证：b^a＞a^b．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）问题转化为证明$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$，根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：函数的定义域是（0，+∞）  f′（x）=$\frac{1-lnx}{x2}$，
∴当x＞e时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（e，+∞）上单调递减．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（0，e）上单调递增．
∴f（x）的最最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$…（5分）
（2）证明：∵a＞b＞e，b^a＞0，a^b＞0，
∴要证b^a＞a^b，只需证aln b＞bln a，只需证$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$，
由（1）可知f（x）在（e，+∞）上单调递减．
∴当a＞b＞e时，有f（b）＞f（a），
即$\frac{lnb}{b}$＞$\frac{lna}{a}$．得证．…（10分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．