Question

1．设函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中ω＞0，A＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，x∈R且函数f（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，满足f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对任意实数x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，不等式f（x）-m＜$\frac{3}{2}$恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设0＜x≤$\frac{π}{2}$，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A，相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，可得$\frac{1}{2}T=\frac{π}{2}$，可得ω，再由f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求出φ，可得f（x）的解析式；
（2）x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求出f（x）的最大值小于$\frac{3}{2}$+m恒成立即可得实数m的取值范围；
（3）根据0＜x≤$\frac{π}{2}$，求出f（x）的取值范围，方程f（x）=m有两个不同的实数根，即图象与y=m有两个交点．可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+φ），
函数f（x）的最小值为-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即sin（ωx+φ）=-1
∴A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{1}{2}T=\frac{π}{2}$，
即T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2．
又∵f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=$\frac{1}{2}$
可得：cosφ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=$-\frac{π}{4}$
故得函数f（x）的解析式为：f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x$-\frac{π}{4}$），
（2）当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上时，
可得：$\frac{π}{12}$≤2x$-\frac{π}{4}$$≤\frac{5π}{12}$
当2x$-\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
不等式f（x）-m＜$\frac{3}{2}$恒成立，
即$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$$-\frac{3}{2}＜m$恒成立．
∴实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}-5}{4}$，+∞）．
（3）由$0＜x≤\frac{π}{2}$，
得$-\frac{π}{4}＜4x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
设t=4x-$\frac{π}{4}$，有$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sint，t∈（-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，其图象如下：
由上图可知，$\frac{1}{2}≤m＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，
曲线$y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sint$与y=m两个不同的交点，
即$0＜x≤\frac{π}{2}$，方程f（x）=m有两个不同的实数根．

点评 本题考查三角函数的有界性，换元法，三角函数图象及性质的运用，考查转化思想以及计算能力．属于中档题