Question

已知圆O：x²+y²=2，直线l：x+2y-4=0，点P（x₀，y₀）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x₀的取值范围是（　　）

• A、[0，1]
• B、[0，

  8

  5

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，1]
• D、[-

  1

  2

  ，

  8

  5

  ]

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x₀的范围

解答： 解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．
如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ=45°，且PQ与圆相切时，PO=2，
而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立0．
因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=45°，否则，这样的点Q是不存在的；
∵点P（x₀，y₀）在直线x+2y-4=0上，∴x₀+2y₀-4=0，即y₀=

4-x0

2

∵|OP|²=x₀²+y₀²=x₀²+（

4-x0

2

）²=

5

4

x₀²-2x₀+4≤4，
∴

5

4

x₀²-2x₀≤0，
解得，0≤x₀≤

8

5

，
∴x₀的取值范围是[0，

8

5

]
故选：B

点评：本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．