题目内容
已知函数f（x）=ln（a+x）-ln（a-x）（a＞0）．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥2x+
，试求a的取值范围．
（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥2x+
| 2x3 |
| 3 |
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值；
（Ⅱ）当x≥0时，构造函数g（x）=f（x）-2x-
，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可求a的取值范围．
（Ⅱ）当x≥0时，构造函数g（x）=f（x）-2x-
| 2x3 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=
+
，
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=
+
=
=2，
解得a=1；
（Ⅱ）当x≥0时，设g（x）=f（x）-（2x+
），
则g′（x）=f′（x）-2-2x2=
+
-2-2x2=
-2-2x2=
[x4-（a2-1）x2+a-a2]
①当0＜a＜1时，a2-1＜0，a-a2＞0，
当0≤x＜a时，x4-（a2-1）x2+a-a2＞0，即g′（x）≥0，
则函数g（x）在[0，a）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即此时f（x）≥2x+
，成立．
②当a＞1时，a2-1＞0，a-a2＜0
∴0＜x＜
＜a时，x2-（a2-1）＜0，
从而x4-（a2-1）x2+a-a2＜0，即g′（x）＜0，
即函数g（x）在（0，
）上为减函数，
∴当0＜x＜
时，g（x）＜g（0）=0，与题意不符，
综上当x≥0时，f（x）≥2x+
时．a的取值范围是0＜a＜1．
| 1 |
| a+x |
| 1 |
| a-x |
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率k=f′（0）=
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 2 |
| a |
解得a=1；
（Ⅱ）当x≥0时，设g（x）=f（x）-（2x+
| 2x3 |
| 3 |
则g′（x）=f′（x）-2-2x2=
| 1 |
| a+x |
| 1 |
| a-x |
| 2a |
| a2-x2 |
| 2 |
| a2-x2 |
①当0＜a＜1时，a2-1＜0，a-a2＞0，
当0≤x＜a时，x4-（a2-1）x2+a-a2＞0，即g′（x）≥0，
则函数g（x）在[0，a）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即此时f（x）≥2x+
| 2x3 |
| 3 |
②当a＞1时，a2-1＞0，a-a2＜0
∴0＜x＜
| a2-1 |
从而x4-（a2-1）x2+a-a2＜0，即g′（x）＜0，
即函数g（x）在（0，
| a2-1 |
∴当0＜x＜
| a2-1 |
综上当x≥0时，f（x）≥2x+
| 2x3 |
| 3 |
点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知圆O：x2+y2=2，直线l：x+2y-4=0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ=45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（ ）
| A、[0，1] | ||||
B、[0，
| ||||
C、[-
| ||||
D、[-
|
运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）
| A、2014 | B、2013 |
| C、1008 | D、1007 |
椭圆
+
=1的离心率为（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|