题目内容
如图，已知PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PD=DC=BC；（Ⅰ）求异面直线PB与AD所成角的余弦值；
（Ⅱ）若AD=
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考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）首先利用线面的垂直转化出异面直线的夹角，进一步利用解直角三角形得到结论．
（2）利用中位线和线面平行的判定定理直接得到结论．
（2）利用中位线和线面平行的判定定理直接得到结论．
解答：
证明：（I）因为PD⊥平面ABCD，
所以：PD⊥BC，
因为：AD⊥CD，AD∥BC，
所以：CD⊥CB，又PD⊥BC，PD交CD于D，
所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PC，
设PD=a，则BC=a，
所以：PD=
a，PB=
a，
所以：cos∠PBC=
，
所以异面直线PB与AD所成角的余弦值是
．
（II）取PB中点为F，连接EF，
因为E、F是PC，PB的中点，
所以：EF∥BC，EF=
BC
所以：四边形AFED为平行四边形，
所以：DE∥AF，DE?平面PAB，AF?平面PAB
所以DE∥平面PAB
所以：PD⊥BC，
因为：AD⊥CD，AD∥BC，
所以：CD⊥CB，又PD⊥BC，PD交CD于D，
所以BC⊥平面PCD，所以BC⊥PC，
设PD=a，则BC=a，
所以：PD=
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所以：cos∠PBC=
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所以异面直线PB与AD所成角的余弦值是
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（II）取PB中点为F，连接EF，
因为E、F是PC，PB的中点，
所以：EF∥BC，EF=
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所以：四边形AFED为平行四边形，
所以：DE∥AF，DE?平面PAB，AF?平面PAB
所以DE∥平面PAB
点评：本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用及相关的运算问题，线面平行的判定定理，属于基础题型．
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