Question

19．设M是圆O：x²+y²=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（-2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）
• B． $\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）
• C． $\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）
• D． $\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（y≠0）

Answer 1

分析 焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．

解答 解：设A，B两点到直线l的距离分别为d₁，d₂，
则d₁+d₂=2d=6
又因为A，B两点在抛物线上，
由定义可知|AF|+|BF|=6＞|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴为6的椭圆（除与x轴交点）．
方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0），
故选C．

点评 本小题主要考查椭圆的定义、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．