Question

7．若圆${C_1}：{x^2}+{y^2}+ax=0$与圆${C_2}：{x^2}+{y^2}+2ax+ytanθ=0$都关于直线2x-y-1=0对称，则sinθcosθ=-$\frac{2}{5}$，．

Answer 1

分析 求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=-2，利用1的代换进行求解即可．

解答 解：圆C₁：x²+y²+ax=0的圆心坐标为（-$\frac{a}{2}$，0），圆C₂：x²+y²+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（-a，-$\frac{tanθ}{2}$），
∵两圆都关于直线2x-y-1=0对称，
∴圆心都在方程为2x-y-1=0的直线上，
则-$\frac{a}{2}$×2-1=0，得a=-1，
-2a+$\frac{tanθ}{2}$-1=0，即2+$\frac{tanθ}{2}$-1=0则$\frac{tanθ}{2}$=-1，即tanθ=-2，
则sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=-$\frac{2}{5}$，
故答案为-$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和计算，根据圆的对称性，得到a，tanθ的值是解决本题的关键．综合性较强．