Question

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA-sinB）=（c-b）（sinC+sinB）
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知a（sinA-sinB）=（c-b）（sinC+sinB）利用正弦定理，得a（a-b）=（c-b）（c+b），即a²+b²-c²=ab．再利用余弦定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²+b²-c²=ab．变形为（a+b）²-3ab=c²=7，又S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得ab=6，可得a+b=5．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知a（sinA-sinB）=（c-b）（sinC+sinB）
由正弦定理，得a（a-b）=（c-b）（c+b），（2分）
即a²+b²-c²=ab．（3分）
所以cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，（5分）
又C∈（0，π），所以C=$\frac{π}{3}$．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²+b²-c²=ab．所以（a+b）²-3ab=c²=7，（8分）
又S=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
所以ab=6，（9分）
所以（a+b）²=7+3ab=25，即a+b=5．（11分）
所以△ABC周长为a+b+c=5+$\sqrt{7}$．（12分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．