Question

17．下列不等式在（0，+∞）上恒成立的是（　　）

• A． e^x＞x+2
• B． sinx＞x
• C． lnx＜x
• D． tanx＞x（x≠$\frac{π}{2}$+kπ，k∈N）

Answer 1

分析 A．取x=1，则e＜1+2，即可判断出结论．
B．取x=1，则sin1＜1，即可判断出结论．
C．令f（x）=x-lnx，利用导数研究其单调性可得：
x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，可得f（x）≥f（1）=1＞0，即可判断出结论．
D．取x=π+$\frac{π}{4}$，tan$（π+\frac{π}{4}）$=1＜π+$\frac{π}{4}$，即可判断出结论．

解答 解：A．取x=1，则e＜1+2，因此不恒成立．
B．取x=1，则sin1＜1，因此不恒成立．
C．令f（x）=x-lnx，则f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f（1）=1＞0，因此恒成立．
D．取x=π+$\frac{π}{4}$，则tan$（π+\frac{π}{4}）$=1＜π+$\frac{π}{4}$，因此不恒成立．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．