Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）． 在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C的方程为ρ sinθtanθ=2a （a＞0）．
（1）求出直线l和曲线C的普通方程；
（2）若点P坐标（3，-$\sqrt{5}$），曲线C与直线l交于A，B两点，若|PA|=|PB|，求实数a值．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程中消去参数t，能求出直线l的普通方程；由已知曲线C的方程为ρ sinθtanθ=2a （a＞0），由此能求出曲线C的直角坐标方程；
（2）利用参数的几何意义，结合|PA|=|PB|，求实数a值．

解答 解：（1）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
消去t，可得普通方程x+y+3+$\sqrt{5}$=0；曲线C的方程为ρ sinθtanθ=2a （a＞0），
直角坐标方程为y²=2ax（x≥0）；
（2）把直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程得t²+（2$\sqrt{2}$a-2$\sqrt{10}$）t+10-12a=0，
∵|PA|=|PB|，∴2$\sqrt{2}$a-2$\sqrt{10}$=0，∴a=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程和直线的普通方程的求法，考查实数值的求法，是基础题．