如图1.直角梯形ABCD.AD∥BC.∠BAD=90°.EF∥AB.将四边形CDFE沿EF折起.使DF⊥AF.BD与平面ABEF所成角为45°.DF=2CE=2.AB=$\sqrt{2}$.如图2(1)求证:AE⊥平面BDF(2)设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$.λ∈[0.1].是否存在符合条件的点M.使得C-BD-M为直二面角.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图1，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，EF∥AB，将四边形CDFE沿EF折起，使DF⊥AF，BD与平面ABEF所成角为45°，DF=2CE=2，AB=$\sqrt{2}$，如图2

（1）求证：AE⊥平面BDF
（2）设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$，λ∈[0，1]，是否存在符合条件的点M，使得C-BD-M为直二面角，若存在，求出相应的λ值，否则说明理由．

分析（1）推导出EF⊥DF，DF⊥AF，从而DF⊥平面ABEF，进而DF⊥BF，DF⊥AE，由此得到四边形ABEF为正方形，从而AE⊥BF，由此能证明AE⊥平面BDF．
（2）以F为坐标原点，FE、FA、FD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在符合条件的点M使得C-BD-M为直二面角，且λ=1．

解答证明：（1）由已知在直角梯形ABCD中，EF∥AB，得EF⊥DF．
又DF⊥AF，∴DF⊥平面ABEF，∴DF⊥BF，DF⊥AE．
又BD与平面ABEF所成角为45°，∴DF=BF=2．
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴四边形ABEF为正方形．
∴AE⊥BF，∴AE⊥平面BDF．…（5分）
解：（2）以F为坐标原点，FE、FA、FD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则F（0，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0）C（$\sqrt{2}$，0，1），D（0，0，2），…（6分）
$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{2}$，0，0）+λ（0，-$\sqrt{2}$，0）=（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}λ，0$），
$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{2}，0，-1$），…（7分）
设平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面BDM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），…（8分）
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=a+λb=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-2c=0}\end{array}\right.$，令a=-λ，得$\overrightarrow{n}$=（-$λ，1，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}λ}{2}$），…（10分）
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，得-$λ+1+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}λ}{2}×\sqrt{2}=0$，解得λ=1∈[0，1]，…（11分）
所以存在符合条件的点M使得C-BD-M为直二面角，且λ=1．…（12分）