Question

7．在区间[-1，1]上任取两数a、b，则使关于x的二次方程${x^2}+2\sqrt{{a^2}+{b^2}}x+1=0$有实数根的概率为$1-\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 根据二次方程根的个数与△的关系，我们易得到关于x的二次方程x²+2 $\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的两根都是实数?a²+b²≥1，分别求出在区间[-1，1]上任取两数a、b，对应的平面区域面积，和满足a²+b²≥1对应的平面区域面积，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．

解答 解：若关于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的两根都是实数，
则△=4（a²+b²）-4≥0，即a²+b²≥1，
在区间[-1，1]上任取两数a、b对应的平面区域如下图中矩形面积所示，
其中满足条件a²+b²≥1的点如下图中阴影部分所示，

∵S_矩形=2×2=4，S_阴影=4-π
故在区间[-1，1]上任取两数a、b，
则使关于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的两根都是实数的概率P=$\frac{{S}_{阴影}}{{S}_{矩形}}$=1-$\frac{π}{4}$，
故答案为：1-$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查的知识点是几何概型，其中分析出关于x的二次方程x²+2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$x+1=0的两根都是实数?a²+b²≥1是解答本题的关键．