Question

1．如图，二面角α-l-β的大小是30°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而∠ADC为二面角α-l-β的平面角，连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．

解答 解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，
在β内过C作l的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，
故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，为30°
又由已知，∠ABD=30°
连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角
设AD=2，则AC=1，CD=$\sqrt{3}$，AB=4
∴sin∠ABC=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．