Question

13．如图，已知在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2．
（1）求证：DB⊥平面B₁BCC₁；
（2）求直线A₁B与平面DBC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥BC，BD⊥BB₁，由此能证明DB⊥平面B₁BCC₁．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A₁B与平面DBC₁所成角的正弦值．

解答 证明：（1）∵AD⊥DC，AB∥DC，DC=DD₁=2AD=2AB=2，
∴BC=DC=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，∴BD²+BC²=DC²，
∴BD⊥BC，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，∴BD⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，
∴DB⊥平面B₁BCC₁．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，2），B（1，1，0），D（0，0，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），
设平面DBC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设直线A₁B与平面DBC₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直线A₁B与平面DBC₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的求法，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．