Question

10．如图，四边形BCC₁B₁是圆柱的轴截面．AA₁是圆柱的一条母线，已知AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=3．
（1）求圆柱的表面积．
（2）求证：BA₁⊥AC．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圆柱底面圆半径r，由此能求出圆柱的表面积．
（2）推导出AC⊥AA₁，AB⊥AC，从而AC⊥平面ABA₁，由此能证明BA₁⊥AC．

解答 解：（1）∵四边形BCC₁B₁是圆柱的轴截面．AA₁是圆柱的一条母线，
AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，AA₁=3．
∴r=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}\sqrt{16+8}$=$\sqrt{6}$，
∴圆柱的表面积S=2πr×AA₁+2πr²=2$\sqrt{6}$π+12π．
证明：（2）∵AA₁是圆柱的一条母线，∴AA₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴AC⊥AA₁，
∵四边形BCC₁B₁是圆柱的轴截面，∴AB⊥AC，
∵AB∩AA₁=A，∴AC⊥平面ABA₁，
∵BA₁?平面ABA₁，∴BA₁⊥AC．

点评 本题考查圆柱的表面积的求法，考查异面直线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．