Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n＝n²，数列{b_n}满足b_n＝，T_n为数列{b_n}的前n项和．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n和T_n；
(2)若对任意的n∈N^*，不等式λT_n<n＋(－1)ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1.（2）(－∞，0)．

(1)当n＝1时，a₁＝S₁＝1，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－1，验证当n＝1时，也成立；所以a_n＝2n－1.
b_n＝＝，
所以T_n＝.
(2)由(1)得λ<，
当n为奇数时，λ<＝2n－－1恒成立，
因为当n为奇数时，2n－－1单调递增，
所以当n＝1时，2n－－1取得最小值为0，此时，λ<0.
当n为偶数时，λ<＝2n＋＋3恒成立，
因为当n为偶数时，2n＋＋3单调递增，
所以当n＝2时，2n＋＋3取得最小值为.此时，λ<.
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，λ的取值范围是(－∞，0)．