Question

已知二面角α-l-β为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案．

解答： 解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，
过点A作AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，
∵AE⊥l
∴∠EAC=90°
∵CD∥AF
又∠ACD=135°
∴∠FAC=45°
∴∠EAF=45°
在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=

3

a，
在Rt△AEF中，则EF=a，AF=

2

a，
在Rt△BEF中，则BF=2a，
∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，
∴cos∠BAF=

AB2+AF2-BF2

2AB•AF

=

(2a)2+( 2 a)2-(2a)2

2×2a× 2 a

=

2

4

．
故答案为：

2

4

．

点评：本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想想能力和作图能力，属于中档题．