Question

8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知a=2acosAcosB-2bsin²A．
（1）求C；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，周长为 15，求c．

Answer 1

分析 （1）a=2acosAcosB-2bsin²A，利用正弦定理，即可求C；
（2）由△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15，由余弦定理得a²+b²+ab=c²，又c=15-（a+b），即可求c．

解答 解：（1）由正弦定理可得
sinA=2sinAcosAcosB-2sinBsin²A…（2分）
=2sinA（cosAcosB-sinBsinA）=2sinAcos（A+B）=-2sinAcosC．
所以cosC=-$\frac{1}{2}$，故C=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）由△ABC的面积为$\frac{15\sqrt{3}}{4}$得ab=15，…（8分）
由余弦定理得a²+b²+ab=c²，又c=15-（a+b），
解得c=7．…（12分）

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．